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In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

• Definition

• Beschränkte Lipschitz-Gebiete

• Eigenschaften

• Beispiele und Gegenbeispiele

• Theorie partieller Differentialgleichungen

• Einzelnachweise

Ein Gebiet Ω Ω ⊂ ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls sowohl positive Zahlen δ δ {\displaystyle \delta } und M {\displaystyle M} existieren, als auch es eine lokal endliche Überdeckung ( U i ) i {\displaystyle (U_{i})_{i}} des Randes ∂ ∂ Ω Ω {\displaystyle \partial \Omega } gibt, so dass für jedes U i {\displaystyle U_{i}} eine reellwertige Funktion f i {\displaystyle f_{i}} von n − − 1 {\displaystyle n-1} Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:cite-ref-1[1]

1. Für eine Zahl R {\displaystyle R} hat jede Teilfamilie von ( U i ) i {\displaystyle (U_{i})_{i}} mit R + 1 {\displaystyle R+1} Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten x , y ∈ ∈ Ω Ω δ δ := { a ∈ ∈ Ω Ω : dist ⁡ ⁡ ( a , ∂ ∂ Ω Ω ) < δ δ } {\displaystyle x,y\in \Omega _{\delta }:=\{a\in \Omega :\operatorname {dist} (a,\partial \Omega )<\delta \}} mit | x − − y | < δ δ {\displaystyle |x-y|<\delta } existiert ein i {\displaystyle i} , so dass x , y ∈ ∈ V := { a ∈ ∈ U i : dist ⁡ ⁡ ( a , ∂ ∂ U i ) > δ δ } {\displaystyle x,y\in V:=\{a\in U_{i}:\operatorname {dist} (a,\partial U_{i})>\delta \}}

gilt.

3. Jede Funktion f i {\displaystyle f_{i}} erfüllt eine Lipschitz-Bedingung | f i ( ξ ξ i , 1 , … … , ξ ξ i , n − − 1 ) − − f i ( ν ν i , 1 , … … , ν ν i , n − − 1 ) | < M | ξ ξ i , 1 − − ν ν i , 1 , … … , ξ ξ i , n − − 1 − − ν ν i , n − − 1 | {\displaystyle |f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})-f_{i}(\nu _{i,1},\ldots ,\nu _{i,n-1})|<M|\xi _{i,1}-\nu _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1}-\nu _{i,n-1}|}

mit der Lipschitz-Konstanten M {\displaystyle M} .

4. Für ein kartesisches Koordinatensystem ( ξ ξ i , 1 , … … , ξ ξ i , n − − 1 ) {\displaystyle (\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})} in U j {\displaystyle U_{j}} ist die Menge Ω Ω ∩ ∩ U i {\displaystyle \Omega \cap U_{i}} beschrieben durch ξ ξ i , n < f i ( ξ ξ i , 1 , … … , ξ ξ i , n − − 1 ) {\displaystyle \xi _{i,n}<f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})} .

Falls Ω Ω {\displaystyle \Omega } ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet Ω Ω {\displaystyle \Omega } ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt x ∈ ∈ ∂ ∂ Ω Ω {\displaystyle x\in \partial \Omega } eine Umgebung U i {\displaystyle U_{i}} existiert, so dass die Menge ∂ ∂ Ω Ω ∩ ∩ U i {\displaystyle \partial \Omega \cap U_{i}} der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.cite-ref-adams67-2-0[2]

• Jedes C k {\displaystyle C^{k}} -Gebiet mit k ≥ ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ist auch ein Lipschitz-Gebiet.cite-ref-adams67-2-1[2]

• Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.cite-ref-3[3]

• Die offene Kreisfläche ist ein C ∞ ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.cite-ref-numericalmethods96-4-0[4]

• Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein C 1 {\displaystyle C^{1}} -Gebiet.cite-ref-numericalmethods96-4-1[4]

• Das beschränkte Gebiet

K = { ( x , y ) ∈ ∈ R 2 : 0 ≤ ≤ y ≤ ≤ x 2 , 0 ≤ ≤ x ≤ ≤ 1 } {\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq y\leq x^{2},0\leq x\leq 1\}}

ist kein Lipschitz-Gebiet, da der Rand des Gebietes in einer Umgebung von ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} nicht als Grapf einer Lipschitz-stetigen Funktion dargestellt werden kann.

• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

Ω Ω := { x ∈ ∈ R d : | x − − x 0 | < R , x ≠ ≠ x 0 + λ λ e 1 for 0 ≤ ≤ λ λ < R } {\displaystyle \Omega :=\{x\in \mathbb {R} ^{d}:|x-x_{0}|<R,x\neq x_{0}+\lambda e_{1}\ {\text{for}}\ 0\leq \lambda <R\}} ,

wobei e 1 {\displaystyle e_{1}} ein Basisvektor der kanonischen Basis des R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.cite-ref-numericalmethods96-4-2[4]

In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.

cite-note-11. ↑ R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 66.

cite-note-adams67-22. ↑ R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 67.

cite-note-33. ↑ Giovanni Leoni: A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. 2. Auflage. American Mathematical Society, Pittsburgh 2017, ISBN 978-1-4704-2921-8, S. 274.

cite-note-numericalmethods96-44. ↑ Peter Knabner, Lutz Angerman: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 978-1-4419-3004-0, S. 96.